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常用的初中数学思想  

2012-08-06 14:14:00|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分,它反映了数学的本质特征,是对数学概念、原理和方法的本质认识,是分析和处理数学问题的指导思想。下面就数形结合、整体变换、分类讨论、转化与化归、逆变换、函数与方程等数学思想进行探讨。

 

一、数形结合思想

 

数形结合思想是指看到图形的一些特征可以想到数学式子中相应的反映,是看到数学式子的特征就能联想到在图形上相应的几何表现。如教材引入数轴后,就为数形结合思想奠定了基础。如有理数的大小比较,相反数和绝对位的几何意义,列方程解应用题的画图分析等,这种抽象与形象的结合,能使学生的思维得到训练。

 

数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。

 

所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合,常与以下内容有关:(1)实数与数轴上的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;(3)曲线与方程的对应关系;(4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,如复数、三角函数等;(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式 。

 

纵观多年来的中考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。

 

例1:如图所示:比较a,-a,b,-b的大小

 

简析:在数轴上指出-a,-b两个数表示的点,四数大小关系就一目了然。

 

例2:有一十字路口,甲从路口出发向南直行,乙从路口以西1500米处向东直行,已知甲、乙同时出发,10分钟后两人第一次距十字路口的距离相等,40分钟后两人再次距十字路口距离相等,求甲、乙两人的速度。

 

简析:画出“十字”图,分析表示出两人在10分钟、40分钟时的位置,由图分析从而列出方程组。

 

二、整体变换思想

 

整体变换思想是指将复杂的代数式或几何图形中的一部分看作一个整体进行变换,使问题简单化。

 

例3:已知:y=ax7+bx5+cx3+dx-1,当x=2时,y=4,则当x=-2时,

 

y= 。

 

简析:由已知条件求出:27a+25b+23c+2d的值,整体代入求出x=-2时,y的值。

 

例4:有一个六位数,它的个位数学是6,如果把6移至第一位前面时

 

所得到的六位数是原数的4倍,求这个六位数。

 

简析:设这个六位数的前五位数为x,那么这个六位数为:10x+8,整体处理,问题就简单化了。

 

三、分类讨论思想

 

在解答某些数学问题时,有时会有多种情况,对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合求解,这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法,也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在试题中占有重要的位置。

 

分类评论的一般步骤是:明确讨论对象,确定对象的全体→确定分类标准,正确进行分类→逐步进行讨论,获取阶段性结果→归纳小结,综合得出结论。

 

分类讨论应遵循的原则:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏,不重复,分层次,不越级讨论。

 

当某个问题有多种情况出现或推导结果不唯一确定时,常运用分类讨论,再加以集中归纳。例如:对|a|要去掉绝对值符号,应讨论绝对值内部式子的符号,要分三种情况去掉绝对值符号。几何中也存在着一些数学和位置关系的分类讨论。

 

例5:甲、乙两人骑自行车,同时从相距75km的两地相向而行,甲的速度为15km/n,乙的速度为10km/n,经过多少小时甲、乙两人相距25km?

 

简析:甲、乙两人相遇前后都会相距25km。分两种情况解答。

 

例6:在同一图形内,画出∠AOB=60°,∠COB=50°,OD是∠AOB的平分线,OE是∠COB的平分线,并求出∠DOE的度数。

 

简析:分∠COB在∠AOB的内部和外部两种情形总图。

 

四、转化与化归思想

 

解决某些数学问题时,如果直接求解较为困难,可通过观察、分析、类比、联想等思维过程,运用恰当的数学方法进行变换,将问题转化为一个新问题(相对来说较为熟悉的问题),通过新问题的求解,、达到解决原问题的目的。这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程,化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法。

 

转化与化归思想是指根据已有知识、经验,通过观察、联想、类比等手段,把问题进行变换,转化为已经解决或容易解决的问题。如二元一次方程组,三元一次方程组的解决实质就是化为解已经学过的一元一次方程。如果把若干个人之间握手总次数(单握)称为“握手问题”,那么像无三点共线的n个点之间连线;共端点射线夹角(小于平角的角)个数;一条线段上有若干个点形成的线段的条数;足球队之间单个循环比赛场次都可转化为“握手问题”。

 

例7:用同样长的火柴组成6个大小相同的正方形,最少要火柴()根。

 

简析:这6个大小相同的正方形可看作一个正方体的6个面,这样所用火柴最少。(实际上就是正方体的12条棱)。

 

例8:用同样长的6根火柴棒摆大小相同的三角形,最多能摆多少个?

 

简析:同样长的6根火柴棒可以看作正三棱锥的三条棱,那么最多能摆四个三角形。

 

五、逆变换思想

 

逆变换思想是指对一些定义、定理、公式,法则的逆用和对解题思路的逆向分析。如加减、函数、通分与约分,去括号与添括号与均为互逆变换。

 

例9:当a= 时,|a-|a||=-2a

 

简析:采用逆向分析,例12先看绝对值结果,根据绝对值的非负性得:-2a≥0,则a≤0。

 

六、函数与方程思想

 

函数思想是指变量与变量之间的一种对应思想。方程思想则指把研究数学问题中已知量与未知量之间的数量关系,转化成方程或方程组等数学模型。当函数值为零时,函数问题就转化为方程问题。同样也可以把方程视为函数值为零时,求自变量的问题。

 

例10:一角的余角的3倍和它的补角的互为补角,求这个角的度数。

 

简析:几何题中列方程(组)会使问题解决。

 

例11:某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人700人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别为800元和1200元,现要求乙种工种的工人数不少于甲种工种人数的3倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时,可使得每月所付的工资最少?

 

简析:建立函数关系式,确定自变量范围,利用一次函数单调性(增减性)解决问题。

 

总之,在数学教学中,切实把握好上述几个典型的数学思想方法,同时注重渗透的过程,依据课本内容和学生的认识水平,从初中开始有计划有步骤地渗透,使其成为由知识转化为能力的纽带,成为提高学生的学习效率和数学能力的法宝。

 

  (本文引自http://www.zgqcedu.com百度一下前程教育,您将收获更多! )

 

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